Integral adalah konsep luas yang digunakan dalam kalkulus untuk menentukan area di bawah kurva. Integral telah digunakan secara luas dalam matematika, fisika, dan mata pelajaran teknik lainnya. Integral terdiri dari dua jenis dalam kalkulus. Integrasi adalah proses mencari integral dari fungsi dengan menggunakan notasi integral.
Kalkulus integral sangat penting dalam rekayasa. Integral juga bisa dihitung dengan menggunakan limit. Integral juga disebut sebagai antiturunan. Dalam integral fungsinya juga dalam bentuk trigonometri. Trigonometri adalah ukuran segitiga.
Apa itu Integral?
Integral adalah konsep untuk menghitung luas daerah di bawah kurva atau volume kurva atau bola. Integral juga dinyatakan sebagai proses pembalik turunan. Derivatif dan integrasi adalah topik utama kalkulus.
Integral selanjutnya diklasifikasikan menjadi dua jenis utama yang disebut integral tertentu dan integral tak tentu. Ketika kita harus menghitung fungsi tanpa batas, kita menggunakan integral tak tentu dan ketika kita harus menghitung batas fungsi, kita menggunakan integral tertentu yang menggunakan batas atas dan bawah.
Integral tentu dan integral tak tentu tidak sama dalam bekerja secara umum. Kedua konsep memiliki cara kerjanya dan keduanya memiliki perhitungan yang sama tetapi pada langkah terakhir, kami menerapkan batasan di salah satu konsep. Integral memecahkan semua jenis masalah dengan menggunakan dua konsep ini.
Dalam jenis integral ini, fungsi trigonometri diterapkan dalam rentang yang luas. Ada banyak rumus umum untuk trigonometri untuk digunakan dalam integrasi. Kita dapat menghitung integral dari setiap fungsi trigonometri.
Bagaimana Integrasi diterapkan pada fungsi trigonometri?
Fungsi trigonometri banyak digunakan dalam kalkulus untuk pengukuran objek geometris yang berbeda. Fungsi trigonometri juga diterapkan dalam turunan, hasil integral dari fungsi trigonometri terbalik dibandingkan dengan diferensial.
Integral diterapkan pada fungsi trigonometri tunggal serta kelompok fungsi trigonometri. Secara integral, fungsi trigonometri harus dihitung sesuai dengan keinginan yang dibutuhkan.
Contoh 1
Tentukan integral dari cos√x + sin√x – tan√y terhadap x
Larutan
Langkah 1: Tulis fungsi yang diberikan bersama dengan notasi integral.
ʃ (cos√x + sin√x – tan√y) dx
Langkah 2: Menerapkan hukum integrasi.
ʃ (cos√x + sin√x – tan√y) dx = ʃ (cos√x) dx + ʃ (sin√x) dx – ʃ (tan√y) dx
Langkah 3:Ambil konstanta di luar notasi integral.
ʃ (cos√x + sin√x – tan√y) dx = ʃ (cos√x) dx + ʃ (sin√x) dx – (tan√y) ʃ dx
ʃ (cos√x + sin√x – tan√y) dx = I1 + I2 – I3
Langkah 4: Sekarang selesaikan integral satu per satu.
I1 = ʃ (cos√x) dx … (1)
let √x = w, menerapkan diferensial di kedua sisi.
1/2w = dw/dx
dx = 2wdw
masukkan istilah-istilah ini (1).
I1 = ʃ (cos√x) dx = ʃ cos(w) 2w dw
= 2 ʃ w cos(w) dw
Terapkan hukum produk.
ʃ u * v = uʃv – ʃ d/dx(u) ʃv
= 2 ʃ w cos(w) dw = 2(w sin(w) – ʃ (1) (sin(w)) dw
= 2wsin(w) – ʃ sin(w) dw
= 2wsin(w) – (-cos(w))
= 2wsin(w) + cos(w)
Masukkan nilai w.
I1 = ʃ (cos√x) dx = ʃ cos(w) 2w dw = 2√x sin(√x) + cos(√x) + c1
Similarly, for I2
I2 = ʃ (sin√x) dx = ʃ sin(w) 2w dw = -2√x cos(√x) + sin(√x) + c2
Dan untuk
I3 = (tan√y) ʃ dx = (tan√y) (x) = xtan√y + c3
Langkah 5: Put the values of I1, I2, and I3.
ʃ (cos√x + sin√x – tan√y) dx = I1 + I2 – I3
ʃ (cos√x + sin√x – tan√y) dx = 2√x sin(√x) + cos(√x) + c1 -2√x cos(√x) + sin(√x) + c2 – xtan√y + c3
Langkah 6: In the above equation c1, c2, and c3 are arbitrary constants, take C = min (c1, c2, c3)
ʃ (cos√x + sin√x – tan√y) dx = 2√x sin(√x) + cos(√x) – 2√x cos(√x) + sin(√x) – xtan√y + C
Jenis pertanyaan integral ini membutuhkan perhitungan yang panjang untuk mencapai persamaan akhir. Untuk menghindari perhitungan yang begitu besar, Anda dapat menggunakan integral kalkulator untuk proses integrasi.
Contoh 2
Find the integral of sin3(x) * cos(x) with respect to x
Larutan
Langkah 1: Tulis fungsi yang diberikan bersama dengan notasi integral.
ʃ (sin3(x) * cos(x)) dx
Langkah 2: Gunakan metode penyisipan dan masukkan sin(x) = w.
When sin(x) = w
Ambil turunan di kedua sisi.
d/dx (sin(x)) = d/dx (w)
cos(x) = dw/dx
cos(x) dx = dw
Langkah 3: Masukkan istilah-istilah ini ke dalam persamaan.
ʃ (sin3(x) * cos(x)) dx = ʃ w3 dw
Langkah 4: Terapkan hukum kekuasaan.
ʃ (sin3(x) * cos(x)) dx = w3+1/ 3 + 1 + C
ʃ (sin3(x) * cos(x)) dx = w4/4 + C
Langkah 5: Sekarang masukkan nilai w = sin(x), ke dalam persamaan di atas.
ʃ (sin3(x) * cos(x)) dx = sin4(x)/4 + C
Contoh 3
Tentukan integral dari sin(x) * cos3(x) terhadap x
Larutan
Langkah 1: Tulis fungsi yang diberikan bersama dengan notasi integral.
ʃ (sin(x) * cos3(x)) dx
Langkah 2: Gunakan metode penyisipan dan masukkan sin(x) = w.
When cos(x) = w
Ambil turunan di kedua sisi.
d/dx (cos(x)) = d/dx (w)
-sin(x) = dw/dx
-sin(x) dx = dw
Langkah 3: Masukkan istilah-istilah ini ke dalam persamaan.
ʃ (sin(x) * cos3(x)) dx = – ʃ w3 dw
Langkah 4: Terapkan hukum kekuasaan.
ʃ (sin(x) * cos3(x)) dx = -w3+1/ 3 + 1 + C
ʃ (sin(x) * cos3(x)) dx = -w4/4 + C
Langkah 5: Sekarang masukkan nilai w = sin(x), ke dalam persamaan di atas.
ʃ (sin(x) * cos3(x)) dx = -cos4(x)/4 + C
Ringkasan
Sekarang Anda menyaksikan bahwa perhitungan fungsi trigonometri dengan menggunakan integral sangat mudah. Setelah Anda memperoleh pengetahuan dasar bagaimana menerapkan integral pada fungsi trigonometri Anda dapat memecahkan masalah apa pun dari topik yang dibahas di atas ini dengan mudah.